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ILUSTRACIÓN DEL PROBLEMA DE LA IDENTIFICABILIDAD EN LOS MODELOS MULTIECUACIONALES

El objetivo de este documento es ilustrar matemáticamente, y con un caso concreto, el problema de la identificación en los modelos multiecuacionales. Para ello, es necesario tener saber en todo momento que la estimación de un modelo multiecuacional simultáneo de forma correcta debe tener en cuenta, en cada ecuación, el valor de estimación de la otra(s).

Aunque siempre será posible estimar de una en una cada ecuación de forma independiente, esta solución rompe con la idea de simultaneidad que intenta incluirse en un modelo como el que estamos viendo.

La  dificultad  para  estimar  simultáneamente,  unido  a  su  evidente  interés  para  dotar  de congruencia al esquema propuesto, exige  pasar, en muchos sistemas de estimación, de la forma estructural a la reducida, de forma que queden perfectamente agrupadas las endógenas a un lado de la igualdad y las exógenas (no obtenibles a partir del propio modelo) al otro. Con ello, podríamos estimar de una en una sin romper el principio de simultaneidad.

Además,  la  forma  reducida  tiene  un  carácter  intrínsecamente  interesante,  dado  que  se elimina el problema de los regresores estocásticos innato en un modelo multiecuacional, ya que, en dicha forma reducida, la agrupación da lugar a que cada endógena (y), sólo venga explicada por exógenas del modelos (x’s).

El ejemplo que servirá para la ilustración parte de una especificación simultánea de dos ecuaciones,  referidas  al  tipo  de  interés  del  BCE  (TBCE)  y  al  de  la  Reserva  Federal americana (TRF).

Se  plantearán  tres  especificaciones  diferentes  para  explicar  dichos  tipos  de  interés, siempre manteniendo la referencia simultánea entre uno y otro (el BCE explica al de la Reserva y viceversa), pero incluyendo más explicativas cada vez en el modelo.

Las especificaciones propuestas son las siguientes:

Caso 1

Caso 2

TBCE=a0+a1TRF TRF=b0+b1TBCE

Caso 3

TBCE=a0+a1TRF+a2IPCUE TRF=b0+b1TBCE

TBCE=a0+a1TRF+a2IPCUE TRF=b0+b1TBCE+b2IPCUSA

Donde TBCE y TRF son los tipos de interés Europeo y Americano, IPCUE e IPCUSA son los índices de precios Europeo.

CASO PRIMERO

TBCE=a0+a1TRF TRF=b0+b1TBCE

Estimando en las formas estructurales:

Estimación forma estructura ecuación 1:

TBCE=a0+a1TRF

Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01   Time: 11:38

Sample: 1995:01 2000:12

Included observations: 72

Variable              Coefficient      Std. Error       t-Statistic         Prob.

C                     -1.009657       1.599211      -0.631347       0.5299

TRF                    0.965412       0.279838       3.449889       0.0010

R-squared                        0.145317     Mean dependent var        4.489167

Adjusted R-squared         0.133108     S.D. dependent var          1.185361

S.E. of regression             1.103655     Akaike info criterion        3.062516

Sum squared resid            85.26379     Schwarz criterion             3.125757

Log likelihood                  -108.2506     F-statistic                          11.90174

Durbin-Watson stat          0.089111     Prob(F-statistic)               0.000954

Estimación forma estructura ecuación 2:

TRF=b0+b1TBCE

Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01   Time: 11:39

Sample: 1995:01 2000:12

Included observations: 72

Variable              Coefficient      Std. Error       t-Statistic         Prob.

C                      5.020108       0.202490       24.79185       0.0000

TBCE                  0.150524       0.043631       3.449889       0.0010

R-squared                        0.145317     Mean dependent var        5.695833

Adjusted R-squared         0.133108     S.D. dependent var          0.468055

S.E. of regression            0.435792     Akaike info criterion        1.204082

Sum squared resid            13.29403     Schwarz criterion             1.267323

Log likelihood                  -41.34695     F-statistic                          11.90174

Durbin-Watson stat          0.096193     Prob(F-statistic)               0.000954

Esta estimación siempre será posible, pero los resultados no serán congruentes, ya que los valores del tipo de interés estimado en la ecuación uno no serán los mismos que los empleados luego para estimar dos (en esta se utilizarán también los valores reales, no los estimados). Lo mismo ocurre en la segunda ecuación.

Por ello, parece conveniente estimar el modelo (cada ecuación) en forma reducida y, después, volver a la forma estructural:

Para pasar de estas formas estructurales a las correspondientes reducidas, despejaría en cada una de ellas la variable “explicativa-endógena de la otras”, es decir:

FORMA ESTRUCTURAL:               TBCE=a0+a1TRF

TBCE=a0+a1 (b0+b1TBCE) =

a0

=a1 b0

FORMA REDUCIDA:

TBCE =

-1   a1b1

+

-1   a

b1     1

p 10

Obtengo así una endógena en función de una exógena (en este caso, dicha exógena es sólo la constante). En cualquier caso, en esta forma reducida puedo estimar el parámetro  p 10 :

Estimación forma reducida ecuación 1:

Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01   Time: 11:46

Sample: 1995:01 2000:12

Included observations: 72

Variable              Coefficient      Std. Error       t-Statistic         Prob.

C                      4.489167       0.139696       32.13522       0.0000

R-squared                        0.000000     Mean dependent var        4.489167

Adjusted R-squared         0.000000     S.D. dependent var          1.185361

S.E. of regression             1.185361     Akaike info criterion        3.191763

Sum squared resid            99.76075     Schwarz criterion             3.223384

Log likelihood                  -113.9035     Durbin-Watson stat          0.080116

Siguiendo los mismos pasos para la otra endógena:

-     La escribo en forma reducida:

TRF=b0+b1TBCE

TRF=b0+b1(a0+a1TRF)=

FORMA REDUCIDA:

-     Estimo dicha forma reducida:

TRF = b 0   + b1a 0   + b 1P 10   = p 20

Estimación forma reducida ecuación 2:

Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01   Time: 11:48

Sample: 1995:01 2000:12

Included observations: 72

Variable              Coefficient      Std. Error       t-Statistic         Prob.

C                      5.695833       0.055161       103.2587       0.0000

R-squared                        0.000000     Mean dependent var        5.695833

Adjusted R-squared         0.000000     S.D. dependent var          0.468055

S.E. of regression             0.468055     Akaike info criterion        1.333329

Sum squared resid            15.55435     Schwarz criterion             1.364949

Log likelihood                  -46.99984     Durbin-Watson stat          0.087197

Para pasar ahora a la forma estructural, nuevamente (y saber así como depende el tipo de interés de la UE del tipo de interés americano y viceversa), tendría el siguiente sistema de ecuaciones

(una vez los valores p 10  y p 20  ya han sido estimados:

a 0

4,489167 =

-

+   a1 b 0

a  b

= p10

1   a1 b1

1-1      1

5,695833 = b 0   + b 1a 0   + b1P 10   = p 20

En definitiva, tendría un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, ya que tendría dos ecuaciones y cuatro incógnitas, luego infinitas soluciones una vez dé un valor para dos de las incógnitas (sea cual sea): el modelo es NO IDENTIFICABLE

CASO SEGUNDO

Las formas estructurales propuestas ahora son las siguientes (se ha incluido una explicativa más en una de las dos ecuaciones iniciales):

TBCE=a0+a1TRF+a2IPCUE TRF=b0+b1TBCE

Estimando directamente ambas formas (en la forma estructural) obtengo:

Estimación forma estructural ecuación 1:

TBCE=a0+a1TRF+a2IPCUE

Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01   Time: 11:56

Sample: 1995:01 2000:12

Included observations: 72

Variable              Coefficient      Std. Error       t-Statistic         Prob.

C                      33.26621       2.156021       15.42944       0.0000

TRF                    1.666413       0.131428       12.67929       0.0000

IPCUE                -0.375077       0.022268      -16.84390       0.0000

R-squared                        0.832803     Mean dependent var        4.489167

Adjusted R-squared         0.827957     S.D. dependent var          1.185361

S.E. of regresión              0.491665     Akaike info criterion        1.458735

Sum squared resid            16.67967     Schwarz criterion             1.553596

Log likelihood                  -49.51446     F-statistic                          171.8437

Durbin-Watson stat          0.540619     Prob(F-statistic)               0.000000

Estimación forma estructural ecuación 2:

TRF=b0+b1TBCE

Dependent Variable: TRF Method: Least Squares Date: 04/10/01   Time: 11:56

Sample: 1995:01 2000:12

Included observations: 72

Variable              Coefficient      Std. Error       t-Statistic         Prob.

C                      5.020108       0.202490       24.79185       0.0000

TBCE                  0.150524       0.043631       3.449889       0.0010

R-squared                        0.145317     Mean dependent var        5.695833

Adjusted R-squared         0.133108     S.D. dependent var          0.468055

S.E. of regression             0.435792     Akaike info criterion        1.204082

Sum squared resid            13.29403     Schwarz criterion             1.267323

Log likelihood                  -41.34695     F-statistic                          11.90174

Durbin-Watson stat          0.096193     Prob(F-statistic)               0.000954

Nuevamente escribo cada una de las dos ecuaciones en su forma reducida de cara a hacer una estimación más congruente con la simultaneidad implícita en el modelo:

-     Escritura en forma reducida:

FORMA ESTRUCTURAL:               TBCE=a0+a1TRF+a2IPCUE=

a0+a1(b0+b1TBCE )+a2IPCUE=

a0/(1- a1b1)+ a1b0/(1- a1b1) + (a2/ (1- a1b1))*IPCUE= FORMA REDUCIDA:              TBCE =Ð10 + Ð11*IPCUE Donde:

Ð10 = a0/(1- a1b1)+ a1b0/(1- a1b1) Ð11 = (a2/(1- a1b1))

-     Estimo los parámetros de la forma reducida

Estimació n forma reducida ecuación 1:

TBCE =Ð10 + Ð11*IPCUE

Dependent Variable: TBCE Method: Least Squares Date: 04/10/01   Time: 12:04

Sample: 1995:01 2000:12

Included observations: 72

Variable              Coefficient      Std. Error       t-Statistic         Prob.

C                      33.63594       3.905761       8.611879       0.0000

IPCUE                -0.285672       0.038267      -7.465206       0.0000

R-squared                        0.443248     Mean dependent var        4.489167<%2

Escrito por tutorialeseconomicos el 18/05/2007 19:58 | Comentarios (0)